二阶变系数微分方程通解的求法(4000字)
的解法进行了分析讨论,首先给出了该方程存在形如 , , 特解的条件，并应用常数变易法求齐次方程的通解. 并求出了这些解, 然后, 用降阶法求出了与它线性无关的另一个特解, 于是获得了该方程的通解公式，最后，本文用常数变易法和积分因子法求了与该方程相应的非齐次二阶变系数线性微分方程的通解公式。
关键词：变系数；二阶线性微分方程；通解；常数变易法;
General Solution of Second Order Liner
Differential Equation With Valiable Coefficients
Abstract: This paper makes analysis to the problem of finding solution to the following second
linear differential equation with variable coefficients of the form this paper first discusses the condition of the equation having particular solutions in the form , , , and gets the particular solutions, also obtains another particular linearly independent solution by the method of declining the rank, then the general solution of this differential equation are derived, finally, this paper also obtains the general of the corresponding non-homogeneous differential equation by the method of variation of parameters and integrating factor
method.
Keywords: Variable coefficient；Second order liner differential equation；General solution；Method
of variation of parameters；
1 前言
微分方程在自然科学中有着广泛的应用,许多物理、化学、生物模型都可通过微分方程来进行描述，二阶微分方程在微分方程理论中占有非常重要的地位, 通解的求法无论在理论上还是在实际应用中都有十分重要的作用。对于二阶常系数线性微分方程通解的求法已经获得了完美的结果,将它的求解问题转化为求特征方程的根,但对于变系数二阶齐次线性微分方程及非齐次线性微分方程通解的求法却无一般方法,已有的方法都是针对某一类方程,例如，李永利 在《一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法》中通过寻求积分因子 求解一类满足RICOATI方程： 的二阶线性微分方程，其中 ；曾炳求 在《変系数二阶现行齐次微分方程的一种新颖的解法》中通过一条定理的证明引入一个辅助函数 ，只要找出 与 的关系，可以求出変系数二阶线性齐次方程 的通解等。本论文主要讨论的是关于有某种特解（如，有形如 特解）二阶变系数线性微分方程的条件及其通解以及与其对应的非齐次二阶变系数微分方程通解的求法。
目 录
摘要…………………………………………………………………………………1
关键词………………………………………………………………………………1
1 前言………………………………………………………………………………2
2 二阶变系数线性齐次微分方程的通解…………………………………………2
2.1 二阶变系数线性微分方程形如 的解的条件及其通解…………2
2.2 二阶变系数线性微分方程形如 的解的条件及其通解……4
2.3 二阶变系数线性微分方程形如 的解的条件及其通解…6
3 关于二阶变系数线性非齐次微分方程的通解…………………………………7
3.1积分因子法…………………………………………………………………7
4 结论 ……………………………………………………………………………10
参考文献 …………………………………………………………………………10
致谢……………………………………………………………………………… 11
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